Matematisk Intuitionism
Lagen om det uteslutna tredje
Inom klassisk matematik och logik har man satt sanningen i centrum. Varje utsaga A är antingen sann eller falsk. Detta är en karakteristisk platonsk syn på matematiken som bestående av oberoende existerande objekt.
För intuitionister är, istället för sanningen, beviset det centrala begreppet; beviset måste bygga på en så kallad mental konstruktion. En sats A är varken sann eller falsk före det den är bevisad eller motbevisad.
Denna matematiska och logiska ståndpunkt medför en rad radikala konsekvenser för vilka klassiska logiska lagar som kan godtas och vilka som inte kan det; den viktigaste är avvisandet av den klassiska logiska självklarheten: Lagen om det uteslutna tredje.
Lagen säger att A eller icke-A är en tautologi. För en intuitionist måste denna lag förkastas då det inte är självklart att A eller icke-A kan bevisas, och före det att så har skett kan man inte uttalas sig om sanningen av A eller icke-A.
Det finns inga skäl att betvivla lagen om det uteslutna tredje så länge man arbetar med konkreta, ändligt verifierbara påståenden. Det problematiska dyker upp först när man behandlar oändliga mängder, till exempel mängden av heltal.
Hur kan man då bevisa A enligt intuitionister?
Det finns speciellt ett krav som måste uppfyllas för att en intuitionist ska acceptera ett bevis. Det måste vara konstruktivt. Standardformen på ett konstruktivt bevis är: Det finns ett x, sådant att..., och bevisas genom att man konstruerar ett specifikt x, sådant att....
Ett icke-konstruktivt bevis för ett påstående ges på formen: Det finns ett x, sådant att ..., vilket innebär att man visar att det finns något x, sådant att... men att man inte pekar ut, konstruerar detta x:
Man utesluter aldrig giltigheten av det uteslutna tredje ifråga om ickematematiska tillämpningar. Inom matematiken är den fullständigt oangripbar så länge man har att göra med ändliga klasser.
Till exempel: om A betecknar en exakt definierad egenskap hos ett naturligt tal sådan att det är möjligt att otvetydigt fastställa huruvida ett givet naturligt tal har egenskapen A eller inte, gäller följande alternativ: Bland de naturliga talen från en till tio miljoner existerar det tal med egenskapen A eller också så existerar det inte något sådant tal (men det finns inte någon tredje möjlighet).
Om man har att göra med en oändlig följd av tal, såsom alla jämna tal istället för talen mellan en och tio miljoner, blir det inte fullt så enkelt. Satsen Det finns ett tal med egenskapen A betyder i detta fall detsamma som förut, nämligen att om man går igenom följden av jämna tal kommer man att finna ett tal med egenskapen A. Men om vi säger att det inte finns ett sådant tal, betyder inte detta att om vi går igenom följden av alla jämna tal kommer vi aldrig finna ett tal med egenskapen A, ty det är meningslöst att tala om en undersökning av oändligt många tal.
Satsen är snarare en förkortning för följande mer invecklade sats: Med hjälp av matematikens axiom och deduktiva metoder kan man bevisa att det mellan egenskapen att vara ett jämnt tal och egenskapen A föreligger en motsägelse. Detta tror jag är den enda betydelse man rimligen kan tillskriva satsen att det inte finns något tal med egenskapen A i en oändligt stor klass.
Det är ingen svårighet att tänka sig att det vid sidan av, att man finner ett tal och kan bevisa en motsägelse, föreligger en tredje möjlighet; nämligen att man varken finner ett tal med egenskapen A när man går igenom talen eller att det föreligger en motsägelse mellan definitionen av talen och egenskapen A som kan härledas med matematiska hjälpmedel.
Det är endast om man gör ett ytterliggare antagande att varje matematiskt problem är lösbart genom generaliseringen av lagen om det uteslutna tredje, till att gälla för alla problem som handlar om oändliga klasser kan rättfärdigas.
Säkert kan den intuitionistiska ståndpunkten uppfattas som radikal och drastisk, men jag anser att den är till fördel för hela matematikens uppbyggnad. Den viktigaste tillämpningen av den intuitionistiska tesen består i att den ger oss en metod för att av alla tidigare matematiska resultat förkasta dem för vilkas bevisande man använt sig av det uteslutna tredje.
Att det krävs ett konstruktivt bevis anser jag bara vara fruktbart vid studiet av matematikens grundelement, även om det lämnar de flesta grenar inom matematiken helt oförändrade. Matematikerna nöjde sig vanligen med ett indirekt bevis endast om man inte kunde finna ett konstruktivt sådant. Det är meningslöst att diskutera huruvida ett tal verkligen existerar om man bara kan ge det ett indirekt bevis för dess existens; ordet existerar kan inte definieras oberoende av vad man vill betrakta som bevis.