normal
Det finns många olika sätt att göra fraktaler på. De vanligaste är itererande eller rekursiva.
För att göra en itererande fraktal (t.ex. Mandelbrot och Julia) börjar man med en punkt; räknar med en speciell formel fram en ny punkt; använder den nya punkten i samma formel för att få fram ännu en punkt, osv.
En rekursiv fraktal (t.ex. Kochkurvan och Sierpinskitriangeln) är uppbyggd av mindre varianter av sig själv. Man anropar alltså sig själv för att rita upp delarna till fraktalen. (Typ)
Det finns också slumpmässiga fraktaler. Då kan man ha flera olika formler att välja bland, vilket man gör helt slumpmässigt; ändå får man fram en och samma fraktal hela tiden. Många fraktaler (t.ex. sierpinskitriangeln) kan ritas med hjälp av en slumpmässig variant.
-----
Koch's kurva
För att göra en kochkurva börjar man med att rita ett rakt streck.
Dela strecket i tre lika långa delar.
Ersätt mittenstrecket med två lika långa streck som är de två övriga sidorna i den liksidiga triangel som har mittstrecket som bas.
Nu ska du ha fyra lika långa delar.
Upprepa proceduren för varje del för sig.
Kochkurvan ser ut som en komplicerad kurva. Men den är oändligt lång. Om den ursprungliga linjen har längden L så har kurvan längden L × 4/3 efter första upprepningen, L × 4/3 × 4/3 efter andra, osv. Den slutliga längden går mot oändligheten.
Sätter man ihop tre kochkurvor i en triangel, får man von Kochs snöflinga. Den är en sluten kurva som är oändligt lång, men har en bestämd yta! Försök bestämma dess yta.
-----
Sierpinskitriangel
Börja med en fylld triangel.
Dela varje triangelsida mitt itu och rita streck mellan dem. Då har du delat upp triangeln i fyra mindre, lika stora trianglar (den i mitten är upp- och nervänd).
Sudda ut den triangeln i mitten.
Upprepa proceduren för varje kvarvarande triangel.
Slutresultatet blir en triangel som inte har någon yta.
Om den ursprungliga triangeln hade ytan Y, så blir den efter första upprepningen Y × 3/4 (eftersom vi tar bort en fjärdedel). Efter andra blir ytan Y × 3/4 × 3/4, osv osv..i all oändlighet => den slutliga ytan går mot noll.
normal
Dimension hos en fraktal
Man brukar säga att fraktaler har reella dimensioner.
T.ex. har kochkurvan dimensionen ( log 4 / log 3 ), vilket är ungefär 1,26 (se nedan).
Antag att vi har ett streck, en kvadrat och en kub. Om vi delar varje sida i de olika figurerna i tre delar, hur många bitar får vi då?
Av strecket får vi tre mindre streck, av kvadraten nio mindre kvadrater och av kuben 27 småkuber.
Strecket är av dimension 1: delar vi strecket på 3 får vi 3 delar.
Kvadraten är av dimension 2: delar vi den på 3 får vi 3 × 3 delar.
Kuben är av dimension 3: delar vi den på 3 får vi 3 × 3 × 3 delar.
Alltså: (antal bitar) = (delning) upphöjt till (dimension)
Med lite högre matematik ger det: (dimension) = log (antal bitar) / log (delning)
Men: delar vi kochkurvan på 3 får vi 4 delar, alltså är dimensionen = log 4 / log 3 (vilket är ungefär 1,26).
Fraktaler kan alltså sägas vara kurvor med reell dimension, eller decimaltalsdimension.
- Fraktala dimensioner i naturen
Det mesta som finns ute i naturen är egentligen fraktaler - moln, berg, vattenytor, blommor, etc. Och av någon anledning så har det mesta en dimension som är ca. 0,2 mer än motsvarande heltalsdimension. T.ex moln har en dimension som är ungefär 3,2; berg har en dimension på 2,2 och kustremsor runt 1,2.
Jämför t.ex. kustlinjen runt Stockholm (från Norrköping till Gävle) med en kochkurva - de ser rätt lika ut, och om man mäter så har de också ungefär samma dimension.
- En kustlinjes dimension
För att mäta dimensionen hos en kustlinje, gör man helt enkelt en bunt mätningar (med linjal på en bra karta) i olika skalor.
Antag att du har en stor karta över Stockholms skärgårds kustlinje (säg 100 cm hög). Tag en passare och ställ in den på 10 cm avstånd mellan spetsarna. Stega dig fram längs kustlinjen med passaren. Skriv upp hur många steg det blev från A till B (Norrköping till Gävle). Ställ in passaren på 5 cm avstånd och gör om proceduren. Gör om det hela med 1 cm noggrannhet. Nu börjar det bli svårt med en passare - testa en linjal i stället. Forsätt med 20 cm, 2 cm, 5 mm och 1 mm (om du orkar).
Vi återkallar vår formel: (antal bitar) = (delning) upphöjt till (dimension) eller (dimension) = log (antal bitar) / log (delning)
(antal bitar) är det antal steg du skrev upp, och (delning) är så många delar du skulle få om kustlinjen var rak. D.v.s. (delning) = 100 cm / 10 cm i första fallet, 100 cm / 5 cm i andra fallet, etc.
Räkna nu ut dimensionen för alla de försök du gjorde. Om kustlinjen är en bra fraktal, så ska du få samma dimension för alla olika skalor (vilket på jorden brukar vara runt 1,2 - se ovan). I verkligheten blir det dock lite variationer.
