Allmänt för dimensioner gäller att de är en skala av en sådan sort att allt finns på en speciell plats i denna skala.
Matematisk dimension
Allmänt för alla dimensioner är att det krävs en extra axel för att beskriva form och läge.
Alias: dimensioner och matematisk dimension
normal
normal
Undrar för övrigt hur det skulle se ut om man tittade på en 4-dimentionell varelse ? Rent geometriskt? Tänk dig detta:
Ett tredimensionellt föremål kan uppfattas i en tvådimensionell värld. Om du tänker dig en kubs projektion på en datorskärm skulle det kanske bli:
+---+
! !
+---+
Detta är ett specialfall. Det skulle även kunna se ut såhär:
+------+
/! /!
/ ! / !
/ +---/--+
+------+ /
! / ! /
!/ !/
+------+
För en tvådimentionell varelse skulle detta se underligt ut. Men inte för en tredimetionell. Men om kuben är projicerad som ovan så blir inte den tvådimentionella varelsen förvånad.
Den endimmentionella kuben kan sägas vara ett streck. Den tvådimensionella vara en kvadrat. Den tredimensionella en kub. Om du räknar linjer, hörn, ytor och
volymer på för de olika dimensionernas kuber blir det såhär:
| Dimensioner | Hörn | Linjer | Ytor | Volymer | ???? |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 4 | 4 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 8 | 12 | 6 | 1 | 0 |
Som du ser så tillkommer det ett begrepp för varje dimention. Det finns teorier för antalet av de olika som en fyrdimensionell kub skulle ha, och hur dess projektion på det tredimentionella (projicerat ännu en gång till det tvådimentionella) planet kan se ut.
Du ser att i och med att vi kommer till andra dimentionen så kommer begreppet yta till. En yta kan inte fattas av en endimentionell varelse. När man går över till tre dimentioner så tillkommer volym. Alltså borde det finnas något för det fyrdimentionella som vi inte kan greppa riktigt.
Och kanske är det så att den 0-dimentionella verkligheten bara har ett hörn. Eftersom det då är linje som är det nya för den endimentionella verkligheten.
Om vi lägger till 0:te och 4:de dimentionen blir det såhär:
| Dimensioner | Hörn | Linjer | Ytor | Volymer | ???? |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 4 | 4 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 8 | 12 | 6 | 1 | 0 |
| 4 | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 |
Huruvida det här stämmer kan ju diskuteras. Det ska vi väl göra nu? =-)
Dess projektion ritas upp såhär: Rita en stycken kub. Rita en kub till, en mindre, innuti den första. Dra en linje från varje hörn på den yttre kuben till dess motsvarande hörn i den inre. Fäärdi!
Jag räknade själv siffrorna på denna kub efter en bild jag ritade upp för att komma ihåg. Lägg märke till några symetriska talföljder:
Hörnen dubblas hela tiden. Det skulle betyda att den fem-dimentionella kuben får 32 hörn!
Varje ny dimention får ett nytt begrepp som den har 1 av.
Det begrepp som tillkommer i den tidigare dimentionen finns det alltid 2 fler av än i den tidigare. (Jag syftar på det diagonala mönstret som sträcker sig från (hörn,1) till (volymer,4). Och dess talserie är 2, 4, 6, 8. Av detta kan vi sluta att den femdimentionella kuben kommer att ha 10 av vi vet inte vad!
Någon symmetri i övrigt kan jag inte riktigt finna. Försök själv! Volymerna gissade jag mig till genom att anta att en volym är det som innesluts av ytor och att en yta är det som innesluts av linjer. Av den femte dimentionen kan vi gissa följande:
| Dimensioner | Hörn | Linjer | Ytor | Volymer | ???? |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 4 | 4 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 8 | 12 | 6 | 1 | 0 |
| 4 | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 |
| 5 | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 |
Jag har studerat talföljdslösning. Och med bara tre dimentioner och teorier om den fjärde går det inte att hitta ett matematiskt mönster. Så nedbrutna dem kan bli så är detta en teori. Enligt mig. Helt matematisk. Är det någon som vågar sig på att rita denna otroliga figur?
Tillbaka till tidigare diskutioner:
En tvådimentionell bild kan projiseras på ett endimentionellt plan. Och en tredimentionell på ett tvådimentionellt plan. I alla dessa fall så kan de projiceras så att den övre dimentionen faller bort.
Det som händer på det en och två-dimentionella planet när man vrider på den övre dimentionen som projiseras är att den projiserade bilden sträcks ut eller blir större. Sammtidigt så får man se andra sidor av föremålet.
Koppla nu detta till relativitetsteorin! I en populärvetenskaplig bok förklarades den med en tids, rumsaxel. Såhär:
/l tid
l
l
l
l
l
l
l rum
l_____________________
/
En stillastående person skulle på denna axel beskriva en kruva som gick rakt uppåt, parallelt med axeln. Medan ett flygplan skulle beskriva kanske en sådan här kurva:
/l tid
l
l /
l /
l /
l /
l l
l/ rum
l_____________________
/
Enligt den klassiska fysiken ja! Men inte enligt relativitetsteorin. (Förlåt att jag har vänt på axlarna så att de inte beskriver en traditionell matematisk funktion)
Enligt relativitetsteorin så är tiden och rummet relativt personen. Vi kan illustrera detta genom att _vrida_ tidsaxeln så att den går parallelt med piloten (flygplanet). Då vrids även rumsaxeln, så att en rät vinkel bildas. Såhär:
tid_1 tid_2
l /
l /
l /
l /
l / +---+
l / l l
l / +---+
l /
l/
l_____________________ rum_1
--__
--__
--__
--__
rum_2
Jag har lagt in en kvadrat i axlarna. Den skall föreställa en viss längd som existerar en viss tid. Den är 5 längdenheter och existerar i tre tidsenheter. Detta enligt den stillastående. Om du projicerar kvadraten vinkelrätt på rums och tidsaxel 1 så får du dessa världen. Men ur pilotens synvinkel ser händelsen annorlunda ut. Resultatet blir alldeles jättekonstigt. Hela föremålet blir KORTARE! Men sammtidigt så finns det nder längre tid.
(Nu måste jag säga att jag ser brister i detta. Det var vällans länge sedan jag läste boken. Måste ha glömt bort något. För nu ser det ut som om föremålet både blir längre och existerar längre + att det under tiden ändrar form från att ena stunden vara pyttelitet till att senare växa till för stor storlek och sedan försvinna igen.)
Men kopplingen till dimentioner är detta:
Många säger att tid skulle kunna vara en (eller den) fjärde dimention. Om vi då säger att vi normalt ser dess projektion på ett sätt så att dimentionens särart hålls dolda. Men när vi färdas med hastigheter nära ljustes så ser vi liksom det hela ur en annan synvinkel. Då projiseras världen på ett sätt så att vi ser världen fyrdimentionell.
normal
Mångdimensionella varelser
I dag är ju fysiken som bekant inte längre bunden av de tre dimensionerna. Det finns pålitliga matematiska modeller för att det skulle kunna finnas inte bara en fjärde utan kanske ännu fler rumsliga dimensioner som vi inte är medvetna om. De flesta fysiker har dock bara tänkt tanken att det kanske finns fyra eller fler rumsdimensioner i ett annan del eller i ett helt annan universum än vårt eget. Mycket få vågar tänka tanken att det finns varelser precis bredvid oss med deras sätt att se, som skådar in i vår simpla värld från en dimension bortom vår uppfattning. Om dessa varelser skulle få lust att kliva in i eller snarare igenom ur deras synvinkel, skulle vi se dessa som ett tredimensionellt objekt som plötsligt dök upp och sedan försvann. Här kommer det paranormala in i bilden. Plötsliga uppdykanden och försvinnanden känner vi igen inte minst från fall av hemsökelser och uppenbarelser. Skulle det kunna vara så att när vi dör så stiger vår själ in i den fjärde dimensionen och kliver bara tillbaka in i vår värld, om den döde har något att säga sina efterlevande. Vår livssyn kommer förmodligen aldrig att bli densamma om hypotesen någonsin förklaras sann.
normal
Korrektur till tabellen om kuber i olika dimensioner:
| Dim | (0)Hörn | (1)Linjer | (2)Ytor | (3)Volymer | (4)???? | (5)????? | (6)?????? |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 4 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 8 | 12 | 6 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 16=8×2+0 | 32=12×2+8 | 24=6×2+12 | 8=1×2+6 | 1=0×2+1 | 0=0×2+0 | 0=0×2+0 |
| 5 | 32=16×2+0 | 80=32×2+16 | 80=24×2+32 | 40=8×2+24 | 10=1×2+8 | 1=0×2+1 | 0=0×2+0 |
| 6 | 64=32×2+0 | 192=80×2+32 | 240=80×2+80 | 160=40×2+80 | 60=10×2+40 | 12=1×2+10 | 1=0×2+1 |
Jag har funnit att den allmänna formeln är: (t)[d]=(t)[d-1]×2+(t-1)[d-1]
och den kan tolkas
| Hörn[d] | Hörn[d-1]×2+0 |
|---|---|
| Linjer[d] | Linjer[d-1]×2+Hörn[d-1] |
| Ytor[d] | Ytor[d-1]×2+Linjer[d-1] |
| Volymer[d] | Volymer[d-1]×2+Ytor[d-1] |
| ????[d] | ????[d-1]×2+Volymer[d-1] |
| ?????[d] | ?????[d-1]×2+????[d-1] |
| ??????[d] | ??????[d-1]×2+?????[d-1] |
och så vidare. Ännu mer specifikt gäller t.ex.
Linjer(3-dim kub)=Linjer(2-dim kvadrat)×2+Hörn(2-dim kvadrat)
Ytor(4-dim) = Ytor(kub)×2 + Linjer(kub) = 6×2 + 12 = 24
normal
Sfärer av olika dimensioner:
| dim | begränsning | innehåll |
|---|---|---|
| 1 | 2 (antal punkter) | 2 r (sträcka) = 2 r/1 |
| 2 | 2 pi r (sträcka) | pi rr (area) = 2 pi r r/2 |
| 3 | 4 pi rr (area) | 4/3 pi rrr (volym) = 4 pi r r r/3 |
| 4 | 2 pi pi rrr (volym) | pi pi rrrr/2 (4-mått) = 2 pi pi rrr r/4 |
| 5 | 8/3 pi pi rrrr | 8/15 pi pi rrrrr = 8/3 pi pi rrrr r/5 |
| d | B | T = B r/d |
där B = 2r "B"[d-1] "Integral"[0 till pi/2 av (cos vinkel)^(d-2)]